ガンマによるプレミアム増減は(原資産の変動の二乗)×ガンマ÷2

 

ではみなさんお待ちかね、タイトルの通り

ガンマによるプレミアムの増減=原資産の変動の二乗×ガンマ÷2

について説明したいと思います。

 

 

 

ガンマによるプレミアムの変化を数式化する

さて、昨日の記事で、ガンマは100円あたりのデルタの変動率(※単位は%/100円)という説明をしましたよね。

これから説明では、100円動くガンマを1という前提でお話しますね。

 

例えば、今のポジションが

デルタ=0(ニュートラル)

ガンマ=+1

と仮定しましょう。

 

このとき日経平均が10円動いたら、デルタはいくつ変化するでしょうか?

答えは簡単、1(%/100円) × 10円 = 0.1

ですね(^^)

 

では50円動いたらどうでしょうか?

答えは 1(%/100円) × 50円 = 0.5

になりますよね!

 

ここまではみなさん大丈夫ですよね?

 

 

では、この日経平均の変動とデルタの数値をグラフにするとどうなるでしょうか?

このようになります。

グラフ中にも書きましたが、このグラフを一次方程式で表すと

Y=X

という式になります。

これは中学生一年生で出てきますよね(^^)

よって日経平均が100円変動するとデルタは+1だけ増え、200円変動するとデルタは+2増えます。

 

じゃあ、このデルタによるプレミアムの変化は?というのが気になりますよね。

 

今まで出したのは『日経平均が変動したときの【デルタ】の値』です。

気になるのはデルタの先にある【プレミアム】ですよね?

 

それでは少し細かく分解してプレミアムを出してみましょう。

日経平均プレミアムの増減は、(日経平均の変動)×そのときのデルタで表されるのは大丈夫ですよね?

この記事でも書いています。

 

これを例えば日経平均が100円変動したときのプレミアムの変化を出そうとすると、ざっくり10円刻みにすれば

  (0→10)×原資産0のときのデルタ

+(10→20)×デルタ原資産10のときのデルタ

+(20→30)×デルタ原資産20のときのデルタ

+(90→100)×デルタ原資産90のときのデルタ

=これらを全て足すと、プレミアムが出てきます。

 

けど、この10円刻みだとすごいアバウトになりません?つまりグラフにしてみるとこういうことです。

こうやってグラフ化してみると、棒グラフの面積がプレミアムを指している事が分かりますね(^^)

この10円刻みの棒グラフだと、どうしてもY=Xの方程式との三角形のスキマが出来てしまいます(´・ω・`)

じゃあ1円刻みで計算したら良いんじゃないか\(^▽^)/

いや、まてよ?0.1円刻みにすれば・・・いや、もっと細かく0.000001円刻みにしたい!!(・∀・)

 

あっ(゜▽゜;)

と思いました?これでピンと来ましたか??

 

そうです!このY=Xの方程式の線と横軸で囲まれた三角形の面積、これを出せばプレミアムが求められるんです\(^▽^)/

じゃあその三角形の式は?

 

ハイ!底辺×高さ÷2!!

 

底辺・・・X=日経平均の変動

高さ・・・Y=Xなのでこれまた日経平均の変動

 

あ!!答えが出ましたね!

 

この三角形の面積が (日経平均の変動の二乗)÷2となります。

 

最初に前提条件として出したガンマ1=100円あたりの変動で当てはめると、横軸は100円=1となるので、1×1÷2=0.5円

これが日経平均が100円変動したときのプレミアムになります。

今回はガンマ=+1で算出しましたが、ガンマが+2であれば、Y=2Xの方程式になります。

 

これでガンマを変数とすると、

プレミアム増減=(日経平均の変動の二乗)×ガンマ÷2

ということが証明されました(* ̄- ̄)y─┛~~

 

この式の出し方ですけど、理系的考えで言えば、

Y=Xを積分すると面積S=1/2*X2

という非常に単純明快な答えになるんです( ̄ー ̄)

 

積分、覚えてますか~?

こんなところで役に立っちゃうんですよ~(・∀・)

 

じゃあデルタが0じゃないときは?

 

上の証明ではデルタ=0のときを扱いました。

デルタ=0を常にキープするのは難しく、デルタニュートラルは本当にニュートラルか?ということでデルタニュートラルの難しさを書きました。

じゃあデルタがあらかじめ数字を持っているときはどう数式化したら良いのでしょうか?

ここまで理解出来ていたら、求めるのは簡単です♪

 

例えばデルタ=+10だとしたら、このグラフのように面積を求めれば良いだけです(≧∇≦)

つまりプレミアムは

(日経平均の変動)×デルタ+(日経平均の変動の二乗)×ガンマ÷2

ということになり、上のグラフは

1×(+10)+12×1÷2=10.5円

となるわけです。